4. Дан четырёхугольник ABCD. Определите, что больше: периметр четырёхугольника \(P_{ABCD}\) или сумма длин его диагоналей AC и BD.

Рассмотрим треугольники, образованные диагоналями. По неравенству треугольника:

В треугольнике ABC: \(AB+BC>AC\).

В треугольнике ADC: \(AD+DC>AC\).

Складывая неравенства, получаем \(P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA>2AC\). Аналогично, применяя неравенство треугольника к треугольникам ABD и BCD, получаем \(P_{ABCD}>2BD\).

Следовательно, \(P_{ABCD}>AC+BD\): например, из двух неравенств \(P>2AC\) и \(P>2BD\) следует \(P>AC+BD\).

Ответ: периметр четырёхугольника больше суммы длин диагоналей.