10. Исследуйте функцию f(x) = 18√x - ln x⁵ + 7 на монотонно и экстремумы.

Решение:

Чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, нам нужно найти ее производную, определить область определения и найти критические точки.

1. Область определения:
   Функция содержит √x, поэтому x ≥ 0.
   Функция содержит ln x5, что равно 5 ln x. Логарифм определен только для положительных чисел, поэтому x > 0.
   Объединяя условия, получаем область определения: (0; +∞).
2. Производная функции:
   f(x) = 18x1/2 - 5 ln x + 7.
   f'(x) = 18 ⋅ (1/2)x-1/2 - 5 ⋅ (1/x) + 0.
   f'(x) = 9x-1/2 - 5/x.
   f'(x) = 9/√x - 5/x.
3. Найдем критические точки:
   Приравняем производную к нулю: 9/√x - 5/x = 0.
   9/√x = 5/x.
   Возведем обе части в квадрат: 81/x = 25/x².
   81x² = 25x.
   81x² - 25x = 0.
   x(81x - 25) = 0.
   Получаем два возможных решения: x = 0 или 81x - 25 = 0.
   x = 0 не входит в область определения.
4. Найдем вторую критическую точку:
   81x = 25 ⇒ x = 25/81.
5. Исследуем знак производной:
   Выберем точки для проверки интервалов (0; 25/81) и (25/81; +∞).
   Интервал (0; 25/81):
   Возьмем x = 1/81 (так как 25/81 ≈ 0.3, а 1/81 ≈ 0.012).
   f'(1/81) = 9/√1/81 - 5/(1/81) = 9/(1/9) - 5 ⋅ 81 = 81 - 405 = -324. Производная отрицательна.
   Интервал (25/81; +∞):
   Возьмем x = 1.
   f'(1) = 9/√1 - 5/1 = 9 - 5 = 4. Производная положительна.
6. Выводы о монотонности:
   На интервале (0; 25/81) функция убывает (f'(x) < 0).
   На интервале (25/81; +∞) функция возрастает (f'(x) > 0).
7. Выводы об экстремумах:
   В точке x = 25/81 происходит смена знака производной с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.
   Найдем значение функции в этой точке:f(25/81) = 18√(25/81) - 5 ln(25/81) + 7.
   f(25/81) = 18 ⋅ (5/9) - 5 ln((5/9)²) + 7.
   f(25/81) = 10 - 5 ⋅ 2 ln(5/9) + 7.
   f(25/81) = 17 - 10 ln(5/9).
   f(25/81) = 17 - 10 (ln 5 - ln 9) = 17 - 10 ln 5 + 10 ln 9.

Ответ:

• Монотонность: функция убывает на (0; 25/81) и возрастает на (25/81; +∞).
• Экстремум: в точке x = 25/81 функция имеет минимум, равный 17 - 10 ln(5/9).