6. Решите неравенство log₃ log_1/2 (2x + 1) < 0.

Решение:

Для решения этого неравенства раскроем логарифмы последовательно, учитывая их свойства.

1. Первое условие (из внешнего логарифма):
   log3(log1/2(2x + 1)) < 0
   Так как основание логарифма (3) больше 1, то при снятии логарифма знак неравенства сохраняется:
   log1/2(2x + 1) < 30
log1/2(2x + 1) < 1
2. Второе условие (из внутреннего логарифма):
   log1/2(2x + 1) < 1
   Так как основание логарифма (1/2) меньше 1, то при снятии логарифма знак неравенства меняется на противоположный:
   2x + 1 > (1/2)1
2x + 1 > 1/2
3. Решаем линейное неравенство:
   2x > 1/2 - 1
2x > -1/2
x > -1/4
4. Условие для аргумента внутреннего логарифма (чтобы он был определен):
   2x + 1 > 0
2x > -1
x > -1/2
5. Объединяем все условия:
   У нас есть x > -1/4 и x > -1/2. Чтобы оба условия выполнялись, нужно взять большее значение.
   x > -1/4.

Ответ: (-1/4; +∞)