5. Найдите f'(-3/5), если f(x) = 4x²e^5x+3.

Решение:

Найдем производную функции f(x) = 4x2e5x+3, используя правило умножения и правило производной сложной функции.

1. Производная первого множителя (4x²):(4x2)' = 8x
2. Производная второго множителя (e^5x+3):
   Используем правило производной сложной функции: (eu)' = eu ⋅ u'.
   Здесь u = 5x + 3, тогда u' = 5.
   (e5x+3)' = e5x+3 ⋅ 5 = 5e5x+3
3. Производная функции f(x):
   f'(x) = (4x2)' ⋅ e5x+3 + 4x2 ⋅ (e5x+3)'
f'(x) = 8x ⋅ e5x+3 + 4x2 ⋅ 5e5x+3
f'(x) = e5x+3(8x + 20x2)
4. Подставляем x = -3/5:
   f'(-3/5) = e5(-3/5)+3 (8(-3/5) + 20(-3/5)2)
f'(-3/5) = e-3+3 ( -24/5 + 20(9/25) )
f'(-3/5) = e0 ( -24/5 + 180/25 )
f'(-3/5) = 1 ⋅ ( -24/5 + 36/5 )
f'(-3/5) = 12/5

Ответ: 12/5