10. Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АК и АР, если АВ = 6, а отрезок КР на 6 больше отрезка АК.

Решение:

1. Из условия следует, что \( AB \) — касательная к окружности, проведенная из точки \( A \), а \( AK \) — секущая, пересекающая окружность в точках \( P \) и \( K \) (начиная от \( A \) это означает, что порядок точек на секущей \( A, P, K \)).
2. По условию \( AB = 6 \) см.
3. Отрезок \( KP = AK - AP \).
4. По условию \( KP \) на 6 больше \( AK \), то есть \( KP = AK + 6 \).
5. Так как \( AK = AP + PK \), то \( AK = AP + (AK + 6) \), что невозможно.
6. Переформулируем условие: отрезок \( KP \) на 6 больше отрезка \( AP \).
7. Обозначим \( AP = x \). Тогда \( KP = x + 6 \).
8. Следовательно, \( AK = AP + KP = x + (x + 6) = 2x + 6 \).
9. По теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки, квадрат длины касательной равен произведению отрезков секущей, то есть \( AB^2 = AP \cdot AK \).
10. Подставим известные значения: \( 6^2 = x \cdot (2x + 6) \).
11. Решим полученное уравнение: \( 36 = 2x^2 + 6x \) \( 2x^2 + 6x - 36 = 0 \) \( x^2 + 3x - 18 = 0 \).
12. Найдем дискриминант: \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \).
13. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \).
14. Так как \( x = AP \) — длина отрезка, она должна быть положительной. Следовательно, \( x = 3 \).
15. Значит, \( AP = 3 \) см.
16. Длина \( AK = 2x + 6 = 2 \cdot 3 + 6 = 6 + 6 = 12 \) см.

Ответ: АК = 12 см, АР = 3 см.