11. Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АР и АК, если АК: КР = 1 : 3, АВ = 14.

Решение:

1. \( AB \) — касательная к окружности из точки \( A \). \( AK \) — секущая, пересекающая окружность в точках \( P \) и \( K \). Порядок точек на секущей: \( A, P, K \).
2. Дано \( AB = 14 \) см.
3. Дано отношение отрезков секущей: \( AK : KP = 1 : 3 \).
4. Обозначим \( AP = x \). Тогда \( AK = AP + PK \).
5. Из отношения \( AK : KP = 1 : 3 \) следует, что \( KP = 3 AK \).
6. Подставим \( AK = AP + PK \) в \( KP = 3 AK \): \( KP = 3 (AP + PK) \) \( KP = 3 AP + 3 PK \) \( -2 PK = 3 AP \). Это невозможно, так как длины отрезков положительны.
7. Переформулируем условие: \( AP : PK = 1 : 3 \).
8. Обозначим \( AP = y \). Тогда \( PK = 3y \).
9. Длина секущей \( AK = AP + PK = y + 3y = 4y \).
10. По теореме о касательной и секущей: \( AB^2 = AP \cdot AK \).
11. Подставим известные значения: \( 14^2 = y \cdot (4y) \).
12. Решим полученное уравнение: \( 196 = 4y^2 \) \( y^2 = \frac{196}{4} = 49 \) \( y = 7 \) (так как \( y \) — длина отрезка, она положительна).
13. Значит, \( AP = 7 \) см.
14. Длина \( AK = 4y = 4 \) \( \cdot 7 = 28 \) см.

Ответ: АР = 7 см, АК = 28 см.