7. Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АМ и МК, если АМ на 8 меньше длины отрезка МК и длина отрезка АВ=3, АAC=8.

Решение:

1. Из условия следует, что \( A \) — точка вне окружности. \( AC \) и \( AK \) — секущие.
2. На первой секущей \( AC \) точки расположены в порядке \( A, B, C \). Длина \( AB = 3 \), \( AC = 8 \).
3. На второй секущей \( AK \) точки расположены в порядке \( A, M, K \).
4. По условию \( AM \) на 8 меньше \( MK \), то есть \( AM = MK - 8 \).
5. Обозначим \( AM = y \). Тогда \( MK = y + 8 \).
6. Длина второй секущей \( AK = AM + MK = y + (y + 8) = 2y + 8 \).
7. По теореме о секущих, выходящих из одной точки: \( AB \cdot AC = AM \cdot AK \).
8. Подставим известные значения: \( 3 \cdot 8 = y \cdot (2y + 8) \).
9. Решим полученное уравнение: \( 24 = 2y^2 + 8y \) \( 2y^2 + 8y - 24 = 0 \) \( y^2 + 4y - 12 = 0 \).
10. Найдем дискриминант: \( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \).
11. Найдем корни: \( y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) и \( y_2 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \).
12. Так как \( y = AM \) — длина отрезка, она должна быть положительной. Следовательно, \( y = 2 \).
13. Значит, \( AM = 2 \) см.
14. Длина \( MK = AM + 8 = 2 + 8 = 10 \) см.

Ответ: АМ = 2 см, МК = 10 см.