6. Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АМ и АК, если АМ: АК = 3: 5, AB = 5, BC = 7.

Решение:

1. По условию \( AC \) и \( AK \) — секущие, выходящие из точки \( A \) вне окружности. Точки \( B \) и \( C \) лежат на одной секущей, а \( M \) и \( K \) — на другой.
2. Отрезки секущих от точки \( A \) до точек пересечения с окружностью: \( AB \) и \( AC \) на одной, \( AM \) и \( AK \) на другой.
3. Дано: \( AB = 5 \), \( BC = 7 \), следовательно, \( AC = AB + BC = 5 + 7 = 12 \).
4. Дано отношение отрезков на второй секущей: \( AM : AK = 3 : 5 \). Обозначим \( AM = 3x \), тогда \( AK = 5x \).
5. По теореме о секущих, выходящих из одной точки, произведение отрезков одной секущей от точки до точек пересечения с окружностью равно произведению отрезков другой секущей.
6. Запишем равенство: \( AB \cdot AC = AM \cdot AK \).
7. Подставим известные значения: \( 5 \cdot 12 = (3x) \cdot (5x) \).
8. Решим полученное уравнение: \( 60 = 15x^2 \) \( x^2 = \frac{60}{15} = 4 \) \( x = 2 \) (так как \( x \) — длина отрезка, она положительна).
9. Найдем длины отрезков \( AM \) и \( AK \): \( AM = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \) см. \( AK = 5x = 5 \cdot 2 = 10 \) см.

Ответ: АМ = 6 см, АК = 10 см.