Предложение 'Kate stayed at home last Saturday' указывает на время, когда Кейт осталась дома. Для вопроса о времени используем вопросительное слово 'When' (Когда). Глагол 'stayed' стоит в Past Simple, поэтому нам понадобится вспомогательный глагол 'did'.
Ответ: When did Kate stay at home?