10. KP — биссектриса ∠DKV; ∠TKV − ∠PKV = 18°; ∠PKT = 80°. Найдите ∠DKP и ∠DKT.

По рисунку лучи KD, KP, KV и KT расположены в указанном порядке вокруг K. Обозначим \(\angle PKV=x\). Так как KP — биссектриса ∠DKV, \(\angle DKP=x\) и \(\angle DKV=2x\).

Из условия \(\angle PKT=80°\), а по порядку лучей \(\angle PKT=\angle PKV+\angle VKT\). Также \(\angle TKV=\angle VKT\). Условие разности даёт \(\angle VKT-x=18°\).

Решаем систему: \(x+(x+18°)=80°\), откуда \(2x=62°\), \(x=31°\).

Значит, \(\angle DKP=31°\). Кроме того, \(\angle DKT=\angle DKP+\angle PKT=31°+80°=111°\).

Ответ: ∠DKP = 31°, ∠DKT = 111°.