10. Луч МА - биссектриса угла ВМС, смежного с углом СМИ. Найдите углы ВМС и СМИ, если угол СМА на 162° меньше угла CMZ.

Решение:

1. Углы ВМС и СМИ смежные, значит, \( \angle ВМС + \angle СМИ = 180° \).
2. Луч МА - биссектриса угла ВМС, значит, \( \angle ВМА = \angle АМС = \frac{\angle ВМС}{2} \).
3. Угол СМА на 162° меньше угла CMZ, значит, \( \angle CMA = \angle CMZ - 162° \).
4. Так как \( \angle CMA \) — это половина \( \angle ВМС \), то \( \angle ВМС = 2 \angle CMA \).
5. \( \angle CMA = \frac{\angle ВМС}{2} \).
6. \( \angle CMZ = \angle CMA + \angle AMZ \)
7. \( \angle CMZ = \angle CMA + \angle CMB \)
8. \( \angle CMZ = \angle CMA + 2\angle CMA = 3\angle CMA \).
9. \( \angle CMA = \angle CMZ - 162° \).
10. \( \angle CMZ = \angle CMA + \angle AMZ \)
11. \( \angle CMZ = \angle CMA + \angle CMB \)
12. \( \angle CMA = \angle CMZ - 162° \).
13. \( \angle СМА \) является половиной \( \angle ВМС \).
14. \( \angle ВМС + \angle СМИ = 180° \).
15. \( \angle CMA = \frac{1}{2} \angle ВМС \).
16. \( \angle CMZ = \angle CMA + \angle AMZ = \angle CMA + \angle ВМС \).
17. \( \angle CMZ = \angle CMA + 2\angle CMA = 3\angle CMA \).
18. \( \angle CMA = \angle CMZ - 162° \).
19. \( \angle CMA = 3\angle CMA - 162° \) → \( 2\angle CMA = 162° \) → \( \angle CMA = 81° \).
20. \( \angle ВМС = 2 \angle CMA = 2 \cdot 81° = 162° \).
21. \( \angle СМИ = 180° - \angle ВМС = 180° - 162° = 18° \).
22. Проверим условие: \( \angle CMZ = \angle CMA + \angle AMZ = \angle CMA + \angle ВМС = 81° + 162° = 243° \).
23. \( \angle CMA = \angle CMZ - 162° = 243° - 162° = 81° \). Условие выполняется.

Ответ: ∠ВМС = 162°, ∠СМИ = 18°.