9. Углы BKN и NKZ смежные, ∠BKN = 68°, луч КС проходит внутри угла BKN, ∠BKC = 22°. Найдите угол между биссектрисами углов CKN и NKZ.

Решение:

1. Углы BKN и NKZ смежные, значит, \( \angle BKN + \angle NKZ = 180° \).
2. \( 68° + \angle NKZ = 180° \) → \( \angle NKZ = 180° - 68° = 112° \).
3. Луч КС проходит внутри угла BKN, значит, \( \angle BKN = \angle BKC + \angle CKN \).
4. \( 68° = 22° + \angle CKN \) → \( \angle CKN = 68° - 22° = 46° \).
5. Пусть \( BM \) — биссектриса угла \( CKN \). Тогда \( \angle CBM = \angle MBK = \frac{\angle CKN}{2} = \frac{46°}{2} = 23° \).
6. Пусть \( BN \) — биссектриса угла \( NKZ \). Тогда \( \angle KBN = \angle NBZ = \frac{\angle NKZ}{2} = \frac{112°}{2} = 56° \).
7. Мы ищем угол между биссектрисами углов CKN и NKZ.
8. Пусть \( CL \) — биссектриса \( \angle CKN \), тогда \( \angle CKL = \angle LKN = \frac{46°}{2} = 23° \).
9. Пусть \( NL \) — биссектриса \( \angle NKZ \), тогда \( \angle KNL = \angle NLZ = \frac{112°}{2} = 56° \).
10. Угол между биссектрисами \( CL \) и \( NL \) равен \( \angle CLN \).
11. \( \angle CLN = \angle CKL + \angle KNL = 23° + 56° = 79° \).
12. Другой вариант:
13. Найдем \( \angle CKZ = \angle CKN + \angle NKZ = 46° + 112° = 158° \).
14. Пусть \( BM \) — биссектриса \( \angle CKN \), тогда \( \angle CBM = \angle MBK = 23° \).
15. Пусть \( BL \) — биссектриса \( \angle NKZ \), тогда \( \angle KBL = \angle LBZ = 56° \).
16. Угол между биссектрисами \( BM \) и \( BL \) равен \( \angle MBL \).
17. \( \angle MBL = \angle MBK + \angle KBL = 23° + 56° = 79° \).

Ответ: 79°.