10. На каждой стороне выпуклого многоугольника взяли по одной точке и последовательно их соединили. Докажите, что периметр образованного многоугольника меньше периметра данного многоугольника.

Пусть на сторонах исходного выпуклого многоугольника последовательно взяты точки \(A_1,A_2,\ldots,A_n\).

1. Каждая сторона нового многоугольника, например \(A_iA_{i+1}\), соединяет две точки, лежащие на соседних сторонах исходного многоугольника.
2. Ломаная по сторонам исходного многоугольника между этими точками состоит из двух отрезков: \(A_iB_i\) и \(B_iA_{i+1}\), где \(B_i\) — общая вершина соответствующих сторон.
3. По неравенству треугольника прямая сторона короче ломаной: \(A_iA_{i+1}
4. Сложим эти неравенства для всех сторон нового многоугольника. Правые части вместе образуют периметр исходного многоугольника, а левые — периметр образованного многоугольника.

Следовательно, периметр нового многоугольника меньше периметра исходного.

Что и требовалось доказать.