10. На рисунке точки D, A, C лежат на одной прямой, BD ⟂ DC; BA = 2, BC = 4, AC = 3. Найти BD = x.

Пусть \(DA=t\). Тогда \(DC=t+3\), так как \(AC=3\).

Из прямоугольных треугольников BDA и BDC по теореме Пифагора:

\(x^2+t^2=2^2=4\),

\(x^2+(t+3)^2=4^2=16\).

Вычтем первое равенство из второго: \((t+3)^2-t^2=12\), то есть \(6t+9=12\), откуда \(t=\frac12\).

Подставим в первое равенство: \(x^2=4-\left(\frac12\right)^2=\frac{15}{4}\). Поскольку длина положительна, \(x=\frac{\sqrt{15}}{2}\).

Ответ: \(BD=\frac{\sqrt{15}}{2}\).