4. В параллелограмме ABCD: AD = 6, CD = 4, внешний угол при D равен 60°. Диагонали BD = x, AC = y. Найти x и y.

Внешний угол при D равен 60°, поэтому внутренний угол параллелограмма при D равен \(120^\circ\). Соседний угол A равен \(60^\circ\).

Для диагонали AC применим теорему косинусов в треугольнике ADC:

\(y^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cos120^\circ=36+16+24=76\), поэтому \(y=2\sqrt{19}\).

Для диагонали BD рассмотрим треугольник ABD. В нём AB = CD = 4, AD = 6 и угол BAD равен \(60^\circ\):

\(x^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cos60^\circ=36+16-24=28\), поэтому \(x=2\sqrt7\).

Ответ: \(x=2\sqrt7,\ y=2\sqrt{19}\).