10. Найдите корень уравнения (1/5)^(4x+4) = 128.

У нас есть уравнение:

\[ (\frac{1}{5})^{4x+4} = 128 \]

Чтобы решить это уравнение, нам нужно привести обе части к одному основанию. Однако, 128 нельзя представить как степень 1/5 (или 5).

128 = 2⁷

1/5 = 5⁻¹

Таким образом, уравнение выглядит так:

\[ (5^{-1})^{4x+4} = 2^7 \]

\[ 5^{-(4x+4)} = 2^7 \]

Сравнивать степени с разными основаниями (5 и 2) напрямую нельзя.

Возможно, в задании опечатка, и правая часть должна быть степенью 5, например, 1/125 (что равно 5⁻³). Или основание должно быть другим.

Если бы уравнение было, например, (1/5)^(4x+4) = 1/125:

\[ (\frac{1}{5})^{4x+4} = \frac{1}{125} \]

\[ (\frac{1}{5})^{4x+4} = (\frac{1}{5})^3 \]

Тогда 4x + 4 = 3, откуда 4x = -1, и x = -1/4.

Однако, с текущими условиями, уравнение не имеет простого решения в целых или рациональных числах. Решение будет включать логарифмы.

Логарифмируем обе части по основанию 10 (или e):

\[ \log (\frac{1}{5})^{4x+4} = \log 128 \]

\[ (4x+4) \log (\frac{1}{5}) = \log 128 \]

\[ (4x+4) (\log 1 - \log 5) = \log 128 \]

\[ (4x+4) (0 - \log 5) = \log 128 \]

\[ -(4x+4) \log 5 = \log 128 \]

\[ 4x+4 = -\frac{\log 128}{\log 5} \]

Или, используя свойство логарифмов ai = d>log_{b}{a} ai d> = d>\(\frac{ ai d>\text{log}_{c}{a} ai d>}{ ai d>\text{log}_{c}{b} ai d>}\) ai d>:

\[ 4x+4 = -\log_5 128 \]

Тогда:

\[ 4x = -4 - \log_5 128 \]

\[ x = \frac{-4 - \log_5 128}{4} \]

\[ x = -1 - \frac{\log_5 128}{4} \]

Ответ: x = -1 - (log₅ 128) / 4 (если допустимы логарифмы) или возможно, в задании ошибка.