10. Найдите корни уравнения \((x+1)\sqrt{x^2-6x+17}=3x+3\).

Заметим, что \(3x+3=3(x+1)\). Перенесём правую часть влево и вынесем общий множитель: \((x+1)(\sqrt{x^2-6x+17}-3)=0\).

Произведение равно нулю, если \(x+1=0\) или \(\sqrt{x^2-6x+17}=3\).

Из первого уравнения получаем \(x=-1\). Во втором возводим обе части в квадрат: \(x^2-6x+17=9\), то есть \(x^2-6x+8=0\). Отсюда \((x-2)(x-4)=0\), значит, \(x=2\) или \(x=4\). Подкоренное выражение определено для всех \(x\), поскольку \(x^2-6x+17=(x-3)^2+8>0\). Все найденные значения подходят.

Ответ: \(-1; 2; 4\).