10) Найдите площадь и периметр прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 46 см, а гипотенуза равна 34 см.

Пусть катеты равны \(x\) и \(y\). Тогда:

\(x+y=46\), \(x^2+y^2=34^2=1156\).

Возведём сумму в квадрат:

\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\), поэтому \(2116=1156+2xy\), откуда \(xy=480\).

Катеты являются корнями уравнения \(t^2-46t+480=0\):

\(t^2-46t+480=(t-16)(t-30)=0\).

Следовательно, катеты равны 16 см и 30 см.

Площадь: \(S=\frac12\cdot16\cdot30=240\text{ см}^2\).

Периметр: \(P=16+30+34=80\text{ см}\).

Ответ: \(S=240\text{ см}^2\), \(P=80\text{ см}\).