10. Найдите площадь сечения единичного куба \(A\ldots D_1\), плоскостью, проходящей через вершины \(A_1\), \(B\) и середину ребра \(C_1D_1\).

Пусть \(M\) — середина ребра \(C_1D_1\). В координатах куба \(A_1=(0,0,1)\), \(B=(1,0,0)\), \(M=( frac12,1,1)\).

Плоскость пересекает куб по пятиугольнику \(A_1 B P M Q\), где \(P\) и \(Q\) — середины рёбер \(BC\) и \(D_1A_1\). Суммирование площадей треугольников, на которые диагонали разбивают это сечение, даёт \(S= \frac{3\sqrt5}{8}\).

Ответ: \( \frac{3\sqrt5}{8}\).