8. Найдите площадь сечения единичного куба \(A\ldots D_1\), плоскостью, проходящей через середины рёбер \(AD\), \(AB\), \(BB_1\).

Пусть ребро куба равно 1. Обозначим середины заданных рёбер через \(P\in AD\), \(Q\in AB\), \(R\in BB_1\). В координатах куба это точки \(P=(0, frac12,0)\), \(Q=( frac12,0,0)\), \(R=(1,0, frac12)\).

Плоскость через эти точки пересекает также рёбра \(B_1C_1\), \(C_1D_1\), \(DD_1\). Сечение — шестиугольник, у которого стороны попарно имеют длины \( frac12\), \( \frac{\sqrt2}{2}\), \( \frac{\sqrt2}{2}\). Его площадь, вычисленная по координатам вершин, равна \( \frac{5\sqrt2}{16}\).

Ответ: \( \frac{5\sqrt2}{16}\).