7. Найдите площадь сечения единичного куба \(A\ldots D_1\), плоскостью, проходящей через вершину \(B\) и середины рёбер \(CD\), \(B_1C_1\).

Введём координаты куба: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\); верхние вершины имеют координату \(z=1\).

Середины указанных рёбер: \(M_{CD}=( frac12,1,0)\), \(N_{B_1C_1}=(1, frac12,1)\). Плоскость через \(B,M,N\) пересекает ещё рёбра \(AA_1\) и \(D_1A_1\) в точках \(P=(0,0, frac12)\) и \(Q=(0, frac12,1)\), соответственно. Поэтому сечение — пятиугольник \(B M N Q P\).

Его площадь равна сумме площадей треугольников, полученных разбиением пятиугольника, или по формуле площади многоугольника в координатах: \(S= \frac{3\sqrt2}{8}\).

Ответ: \( \frac{3\sqrt2}{8}\).