9. Найдите площадь сечения единичного куба \(A\ldots D_1\), плоскостью, проходящей через вершины \(A\), \(C\) и середину \(A_1D_1\).

Возьмём координаты \(A=(0,0,0)\), \(C=(1,1,0)\), а верхние вершины — на высоте 1. Середина ребра \(A_1D_1\) имеет координаты \(M=(0, frac12,1)\).

Плоскость через \(A,C,M\) пересекает куб по четырёхугольнику с вершинами \(A\), \(C\), \(M\) и точкой \((1, frac12,1)\), середины ребра \(B_1C_1\). Диагонали этого параллелограмма имеют длины \(\sqrt2\) и \(\sqrt{5}/2\), а угол между ними даёт площадь \( \frac{\sqrt{10}}{4}\).

Ответ: \( \frac{\sqrt{10}}{4}\).