10. Найдите tga, если (3sina-5cosa+2)/(sina+3cosa+6) = 1/3.

Решение:

Дано уравнение:

\( \frac{3\text{sin}\text{a} - 5\text{cos}\text{a} + 2}{\text{sin}\text{a} + 3\text{cos}\text{a} + 6} = \frac{1}{3} \)

Чтобы найти \( \text{tg}\text{a} \), мы можем разделить числитель и знаменатель дроби на \( \text{cos}\text{a} \), если \( \text{cos}\text{a} \neq 0 \). Однако, сначала упростим данное уравнение, перемножив крест-накрест:

\( 3(3\text{sin}\text{a} - 5\text{cos}\text{a} + 2) = 1(\text{sin}\text{a} + 3\text{cos}\text{a} + 6) \)

Раскроем скобки:

\( 9\text{sin}\text{a} - 15\text{cos}\text{a} + 6 = \text{sin}\text{a} + 3\text{cos}\text{a} + 6 \)

Перенесем все члены с \( \text{sin}\text{a} \) влево, а с \( \text{cos}\text{a} \) и константы вправо:

\( 9\text{sin}\text{a} - \text{sin}\text{a} = 3\text{cos}\text{a} + 15\text{cos}\text{a} + 6 - 6 \)

\( 8\text{sin}\text{a} = 18\text{cos}\text{a} \)

Теперь, чтобы получить \( \text{tg}\text{a} = \frac{\text{sin}\text{a}}{\text{cos}\text{a}} \), разделим обе части уравнения на \( 8\text{cos}\text{a} \) (предполагая, что \( \text{cos}\text{a} \neq 0 \). Если \( \text{cos}\text{a} = 0 \), то \( \text{sin}\text{a} = ±1 \), и \( 8(±1) = 0 \), что неверно. Следовательно \( \text{cos}\text{a} \neq 0 \)):

\( \frac{8\text{sin}\text{a}}{8\text{cos}\text{a}} = \frac{18\text{cos}\text{a}}{8\text{cos}\text{a}} \)

\( \text{tg}\text{a} = \frac{18}{8} \)

Сократим дробь:

\( \text{tg}\text{a} = \frac{9}{4} \)

Ответ: 9/4