7. Прямая y = 6x + 4 является касательной к графику функции y = x³ - 3x² + 9x + 3. Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

Для того чтобы прямая \( y = 6x + 4 \) была касательной к графику функции \( y = x^3 - 3x^2 + 9x + 3 \), должны выполняться два условия:

1. Уравнения функций должны иметь общую точку: \( x^3 - 3x^2 + 9x + 3 = 6x + 4 \).
2. Производная функции \( y = x^3 - 3x^2 + 9x + 3 \) в точке касания должна быть равна коэффициенту наклона касательной, то есть 6.

Найдем производную функции:

\( y' = (x^3 - 3x^2 + 9x + 3)' = 3x^2 - 6x + 9 \)

Приравняем производную к 6:

\( 3x^2 - 6x + 9 = 6 \)

\( 3x^2 - 6x + 3 = 0 \)

Разделим на 3:

\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Можно заметить, что это полный квадрат:

\( (x - 1)^2 = 0 \)

Отсюда следует, что \( x = 1 \).

Теперь проверим, выполняется ли первое условие (наличие общей точки) при \( x = 1 \):

Левая часть: \( y = 1^3 - 3(1)^2 + 9(1) + 3 = 1 - 3 + 9 + 3 = 10 \)

Правая часть: \( y = 6(1) + 4 = 6 + 4 = 10 \)

Так как \( 10 = 10 \), первая точка касания найдена верно.

Ответ: 1