12. Найдите точку максимума функции y = (3x² - 36x + 36) · e^{x+36}.

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции \( y = (3x^2 - 36x + 36) · e^{x+36} \), необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю и определить, в какой из точек производная меняет знак с плюса на минус.

Найдем производную \( y'(x) \) с помощью правила умножения (производная произведения \( (uv)' = u'v + uv' \)):

Пусть \( u = 3x^2 - 36x + 36 \) и \( v = e^{x+36} \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

\( u' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 36x + 36) = 6x - 36 \)

\( v' = \frac{d}{dx}(e^{x+36}) = e^{x+36} · \frac{d}{dx}(x+36) = e^{x+36} · 1 = e^{x+36} \)

Теперь подставим в формулу производной произведения:

\( y'(x) = (6x - 36) · e^{x+36} + (3x^2 - 36x + 36) · e^{x+36} \)

Вынесем общий множитель \( e^{x+36} \) за скобки:

\( y'(x) = e^{x+36} [ (6x - 36) + (3x^2 - 36x + 36) ] \)

Упростим выражение в квадратных скобках:

\( y'(x) = e^{x+36} [ 6x - 36 + 3x^2 - 36x + 36 ] \)

\( y'(x) = e^{x+36} [ 3x^2 + (6x - 36x) + (-36 + 36) ] \)

\( y'(x) = e^{x+36} [ 3x^2 - 30x ] \)

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( e^{x+36} (3x^2 - 30x) = 0 \)

Так как \( e^{x+36} \) всегда больше нуля, то для равенства нулю необходимо, чтобы выражение в скобках равнялось нулю:

\( 3x^2 - 30x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( 3x \) за скобки:

\( 3x(x - 10) = 0 \)

Отсюда получаем две критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 10 \).

Теперь определим, какая из этих точек является точкой максимума. Для этого проанализируем знак производной \( y'(x) \) в интервалах, образованных критическими точками. Поскольку \( e^{x+36} > 0 \), знак производной определяется знаком выражения \( 3x(x - 10) \).

• Интервал \( x < 0 \): Возьмем \( x = -1 \). \( 3(-1)(-1 - 10) = (-3)(-11) = 33 > 0 \). Производная положительна, функция возрастает.
• Интервал \( 0 < x < 10 \): Возьмем \( x = 1 \). \( 3(1)(1 - 10) = (3)(-9) = -27 < 0 \). Производная отрицательна, функция убывает.
• Интервал \( x > 10 \): Возьмем \( x = 11 \). \( 3(11)(11 - 10) = (33)(1) = 33 > 0 \). Производная положительна, функция возрастает.

В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с плюса на минус. Это означает, что \( x = 0 \) является точкой максимума.

В точке \( x = 10 \) производная меняет знак с минуса на плюс. Это означает, что \( x = 10 \) является точкой минимума.

Нас просили найти точку максимума.

Ответ: 0