11. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 3√3, а высота равна 7.

Решение:

Правильная треугольная призма вписана в цилиндр. Это означает, что основания призмы вписаны в основания цилиндра.

Радиус основания цилиндра \( R = 3√3 \). Высота цилиндра \( H = 7 \). Высота призмы равна высоте цилиндра, \( h_{призмы} = H = 7 \).

Основание призмы — правильный треугольник, вписанный в круг радиусом \( R = 3√3 \).

Найдем сторону правильного треугольника \( a \), вписанного в окружность радиусом \( R \). Формула связи:

\( a = R√3 \)

Подставим значение радиуса:

\( a = (3√3) · √3 = 3 · (√3)^2 = 3 · 3 = 9 \)

Итак, сторона основания правильной треугольной призмы равна \( a = 9 \).

Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле:

\( S_{бок. призмы} = P_{осн.} · h_{призмы} \)

где \( P_{осн.} \) — периметр основания призмы, а \( h_{призмы} \) — высота призмы.

Периметр основания правильного треугольника со стороной \( a \):

\( P_{осн.} = 3a = 3 · 9 = 27 \)

Высота призмы \( h_{призмы} = 7 \).

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

\( S_{бок. призмы} = 27 · 7 = 189 \)

Ответ: 189