8. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t³ + 3t² - 5t, где х – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 19 м/с?

Решение:

Скорость материальной точки является производной от её положения по времени. Закон движения дан формулой \( x(t) = t^3 + 3t^2 - 5t \).

Найдем производную, чтобы получить формулу скорости \( v(t) \):

\( v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 + 3t^2 - 5t) = 3t^2 + 6t - 5 \)

Нам нужно найти момент времени \( t \), когда скорость \( v(t) \) равна 19 м/с. Приравниваем полученную формулу скорости к 19:

\( 3t^2 + 6t - 5 = 19 \)

Перенесем 19 в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 3t^2 + 6t - 5 - 19 = 0 \)

\( 3t^2 + 6t - 24 = 0 \)

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить:

\( t^2 + 2t - 8 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета:

Сумма корней \( t_1 + t_2 = -2 \), произведение корней \( t_1 · t_2 = -8 \).

Подбираем корни: \( t_1 = 2 \) и \( t_2 = -4 \).

По дискриминанту:

\( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \)

\( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2} \)

\( t_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( t_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Время \( t \) не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем только положительный корень.

Ответ: 2