10. Найдите значение \( 13 \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \), если \( \cos \alpha = -\frac{12}{13} \) и \( \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \).

Решение:

Сначала упростим выражение, используя формулу приведения:

\[ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha \]

Таким образом, нам нужно найти \( 13 \sin \alpha \).

Мы знаем, что \( \cos \alpha = -\frac{12}{13} \) и \( \alpha \) находится во второй четверти \( \left( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \right) \).

В первой и второй четвертях синус положителен.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \]

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 \]

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169} \]

\[ \sin^2 \alpha = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} \]

Так как \( \alpha \) во второй четверти, \( \sin \alpha > 0 \). Возьмём положительный корень:

\[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} \]

Теперь найдём значение исходного выражения:

\[ 13 \sin \alpha = 13 \cdot \frac{5}{13} = 5 \]

Ответ: 5.