11. На рисунке изображён график функции \( y = f(x) \) и касательная к нему в точке с абсциссой \( x_0 \). Найдите значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \).

Решение:

Производная функции в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс.

На рисунке видно, что касательная проходит через точки \( (x_0, f(x_0)) \) и \( (0, 1) \).

Угол наклона \( k \) касательной можно найти, определив две точки на прямой. На графике видно, что касательная проходит через точки \( (0, 1) \) и \( (1, -1) \).

Найдем угловой коэффициент (тангенс угла наклона):

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 1}{1 - 0} = \frac{-2}{1} = -2 \]

Значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

\[ f'(x_0) = k = -2 \]

Ответ: -2.