5. Решите уравнение \( \sqrt{-40 + 13x} = x \). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{-40 + 13x})^2 = x^2 \]

\[ -40 + 13x = x^2 \]

Перенесём все члены в правую часть:

\[ x^2 - 13x + 40 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

\[ x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

Проверим корни на соответствие условию \( x \ge 0 \) (так как \( x \) равно квадратному корню) и чтобы подкоренное выражение было неотрицательным \( -40 + 13x \ge 0 \).

Для \( x_1 = 8 \):

\( 8 \ge 0 \) — верно.

\[ -40 + 13 \cdot 8 = -40 + 104 = 64 \ge 0 \] — верно.

Для \( x_2 = 5 \):

\( 5 \ge 0 \) — верно.

\[ -40 + 13 \cdot 5 = -40 + 65 = 25 \ge 0 \] — верно.

Оба корня подходят. Меньший из корней — 5.

Ответ: 5.