5. Решите уравнение \( \sqrt{-40+13x} = x \). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( -40 + 13x = x^2 \).
2. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 13x + 40 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9 \).
4. Найдём корни уравнения: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) и \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).
5. Проверим корни в исходном уравнении \( \sqrt{-40+13x} = x \).
6. Для \( x = 8 \): \( \sqrt{-40 + 13 \cdot 8} = \sqrt{-40 + 104} = \sqrt{64} = 8 \). Это верный корень.
7. Для \( x = 5 \): \( \sqrt{-40 + 13 \cdot 5} = \sqrt{-40 + 65} = \sqrt{25} = 5 \). Это верный корень.
8. Так как уравнение имеет два корня (8 и 5), записываем меньший из них.

Ответ: 5