10. Найдите значение выражения: log_{0,5}28 – 4log_{0,5}√2 + \(\frac{1}{2}\)log_{0,5}144

Решение:

Применим свойства логарифмов.

Сначала преобразуем слагаемые:

\( 4 \log_{0,5} \sqrt{2} = 4 \log_{0,5} 2^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_{0,5} 2 = 2 \log_{0,5} 2 = \log_{0,5} 2^2 = \log_{0,5} 4 \)

\( \frac{1}{2} \log_{0,5} 144 = \log_{0,5} 144^{\frac{1}{2}} = \log_{0,5} \sqrt{144} = \log_{0,5} 12 \)

Теперь выражение выглядит так:

\[ \log_{0,5} 28 - \log_{0,5} 4 + \log_{0,5} 12 \]

Используем свойства логарифмов \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \) и \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \):

\[ \log_{0,5} \frac{28}{4} + \log_{0,5} 12 = \log_{0,5} 7 + \log_{0,5} 12 = \log_{0,5} (7 \cdot 12) = \log_{0,5} 84 \]

Заметим, что \( 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \). Поэтому \( \log_{0,5} 84 = \log_{2^{-1}} 84 \).

Используем свойство \( \log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b \):

\[ \log_{2^{-1}} 84 = \frac{1}{-1} \log_2 84 = -\log_2 84 \]

Примечание: Возможно, в условии задания содержится опечатка, так как выражение \( -\log_2 84 \) не упрощается до целого числа. Если бы, например, было \( \log_{0,5} 16 \), то ответ был бы \( -4 \).

Ответ: \( -\log_2 84 \)