12. Решить уравнение: \( \sqrt{x + 1} = 1 - x \)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{x + 1})^2 = (1 - x)^2 \]

\[ x + 1 = 1 - 2x + x^2 \]

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 2x - x + 1 - 1 = 0 \]

\[ x^2 - 3x = 0 \]

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(x - 3) = 0 \]

Это уравнение имеет два корня: \( x = 0 \) и \( x = 3 \).

Теперь проверим оба корня в исходном уравнении \( \sqrt{x + 1} = 1 - x \).

Проверка для \( x = 0 \):

\[ \sqrt{0 + 1} = 1 - 0 \]

\[ \sqrt{1} = 1 \]

\[ 1 = 1 \]

Корень \( x = 0 \) подходит.

Проверка для \( x = 3 \):

\[ \sqrt{3 + 1} = 1 - 3 \]

\[ \sqrt{4} = -2 \]

\[ 2 = -2 \]

Это неверно. Корень \( x = 3 \) не подходит.

Ответ: 0