22. Сравните числа: \( \sqrt[3]{\frac{3}{7}} \) и \( \sqrt[4]{\frac{5}{14}} \)

Решение:

Чтобы сравнить эти числа, приведём их к одному показателю степени под корнем. Наименьшее общее кратное знаменателей степеней (3 и 4) равно 12.

Преобразуем первое число:

\[ \sqrt[3]{\frac{3}{7}} = \left( \frac{3}{7} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \left( \frac{3}{7} \right)^4 \right)^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{(\frac{3}{7})^4} = \sqrt[12]{\frac{3^4}{7^4}} = \sqrt[12]{\frac{81}{2401}} \]

Преобразуем второе число:

\[ \sqrt[4]{\frac{5}{14}} = \left( \frac{5}{14} \right)^{\frac{1}{4}} = \left( \left( \frac{5}{14} \right)^3 \right)^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{(\frac{5}{14})^3} = \sqrt[12]{\frac{5^3}{14^3}} = \sqrt[12]{\frac{125}{2744}} \]

Теперь нужно сравнить числа под 12-м корнем:

\[ \frac{81}{2401} \quad \text{и} \quad \frac{125}{2744} \]

Чтобы сравнить дроби, приведём их к общему знаменателю или сравним их десятичные значения.

\( \frac{81}{2401} \approx 0,0337 \)

\( \frac{125}{2744} \approx 0,0455 \)

Так как \( 0,0337 < 0,0455 \), то \( \frac{81}{2401} < \frac{125}{2744} \).

Следовательно,

\[ \sqrt[12]{\frac{81}{2401}} < \sqrt[12]{\frac{125}{2744}} \]

Что означает:

\[ \sqrt[3]{\frac{3}{7}} < \sqrt[4]{\frac{5}{14}} \]

Ответ: \( \sqrt[3]{\frac{3}{7}} < \sqrt[4]{\frac{5}{14}} \)