10. Найти производную сложной логарифмической функции

Решение:

Функция: \( y = \ln(\cos x) \).

Используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция — \( \ln u \), внутренняя функция — \( u = \cos x \).

Производная внешней функции: \( (\ln u)' = \frac{1}{u} \).

Производная внутренней функции: \( (\cos x)' = -\sin x \).

Применяем правило цепочки:

\( y' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) \)

\( y' = -\frac{\sin x}{\cos x} \)

Так как \( \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \), то:

\( y' = -\tan x \)

Ответ: \( y' = -\tan x \)