8. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке:

Решение:

Функция: \( y = x^3 - 12x \), отрезок \( [0, 3] \).

1. Найдем производную функции:

\( y' = (x^3)' - (12x)' = 3x^2 - 12 \)

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\( 3x^2 - 12 = 0 \)

\( 3x^2 = 12 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = \pm 2 \)

3. Выберем критические точки, принадлежащие отрезку \( [0, 3] \). Это \( x = 2 \).

4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, принадлежащей отрезку:

• \( y(0) = 0^3 - 12 \cdot 0 = 0 \)
• \( y(2) = 2^3 - 12 \cdot 2 = 8 - 24 = -16 \)
• \( y(3) = 3^3 - 12 \cdot 3 = 27 - 36 = -9 \)

5. Сравним полученные значения:

Наибольшее значение — \( 0 \), наименьшее значение — \( -16 \).

Ответ: Наибольшее значение: 0, Наименьшее значение: -16.