10. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом $$60^0$$ равна 12 см. Найдите объём конуса.

Решение:

Обозначим:

• Образующая конуса \( l = 12 \) см.
• Угол наклона образующей к плоскости основания \( \alpha = 60^0 \).
• Радиус основания конуса \( r \).
• Высота конуса \( h \).

В прямоугольном треугольнике, образованном образующей, радиусом основания и высотой конуса:

1. Найдём высоту конуса \( h \).

Высота \( h \) противолежит углу \( \alpha \).

$$\\sin \alpha = \frac{h}{l}$$

$$h = l \cdot \sin \alpha = 12 \cdot \sin 60^0 = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$ см.

2. Найдём радиус основания \( r \).

Радиус \( r \) прилежит к углу \( \alpha \).

$$\\cos \alpha = \frac{r}{l}$$

$$r = l \cdot \cos \alpha = 12 \cdot \cos 60^0 = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$ см.

3. Найдём объём конуса.

Формула объёма конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

$$V = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (6\sqrt{3})$$

$$V = \frac{1}{3} \pi (36) (6\sqrt{3})$$

$$V = 12 \pi (6\sqrt{3})$$

$$V = 72\sqrt{3}\pi$$ см$$^3$$.

Ответ: $$72\sqrt{3}\pi$$ см$$^3$$.