6. Найдите точки минимума функции $$y = x^3 - 3x^2 + 2$$

Решение:

Чтобы найти точки минимума функции, нужно найти её первую производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Затем определить знак производной на интервалах.

1. Найдём первую производную функции:

$$y' = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x$$

2. Приравняем производную к нулю:

$$3x^2 - 6x = 0$$

$$3x(x - 2) = 0$$

Отсюда получаем критические точки: $$x_1 = 0$$ и $$x_2 = 2$$.

3. Определим знак производной на интервалах:

• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( y' = 3(-1)((-1) - 2) = -3(-3) = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( y' = 3(1)(1 - 2) = 3(-1) = -3 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( y' = 3(3)(3 - 2) = 9(1) = 9 > 0 \). Функция возрастает.

Точка \( x = 0 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус.

Точка \( x = 2 \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.

4. Найдём значение функции в точке минимума:

$$y(2) = 2^3 - 3(2^2) + 2 = 8 - 3(4) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$$

Ответ: точка минимума функции находится в точке (2, -2).