5. Решите уравнение $$\sqrt{x-2} = x-8$$

Решение:

Для решения уравнения с корнем, нужно возвести обе части в квадрат. Но перед этим убедимся, что правая часть уравнения неотрицательна, так как корень извлекается из неотрицательного числа:

$$x - 8 \ge 0 \implies x \ge 8$$.

Также, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$$.

Общее условие: \( x \ge 8 \).

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{x-2})^2 = (x-8)^2$$

$$x - 2 = x^2 - 16x + 64$$

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$x^2 - 16x - x + 64 + 2 = 0$$

$$x^2 - 17x + 66 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 66 = 289 - 264 = 25$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{17 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 5}{2} = \frac{22}{2} = 11$$

$$x_2 = \frac{17 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

Теперь проверим полученные корни с учётом условия \( x \ge 8 \).

Корень \( x_1 = 11 \) удовлетворяет условию \( 11 \ge 8 \).

Корень \( x_2 = 6 \) не удовлетворяет условию \( 6 \ge 8 \).

Значит, посторонним является корень \( x = 6 \).

Ответ: $$11$$.