10. Образующая конуса равна 12 см и образует с плоскостью основания угол в 30°. Определите объем конуса.

Решение:

1. Обозначим образующую как \( l = 12 \) см. Угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 30^{\circ} \).
2. В прямоугольном треугольнике, образованном образующей, радиусом основания \( r \) и высотой конуса \( h \), образующая является гипотенузой.
3. Найдем высоту конуса \( h \): \( \cos \alpha = \frac{h}{l} \Rightarrow h = l \cdot \cos \alpha \).
4. \( h = 12 \cdot \cos 30^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см.
5. Найдем радиус основания \( r \): \( \sin \alpha = \frac{r}{l} \Rightarrow r = l \cdot \sin \alpha \).
6. \( r = 12 \cdot \sin 30^{\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \) см.
7. Формула объема конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).
8. Подставим значения \( r=6 \) и \( h=6\sqrt{3} \): \( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 6\sqrt{3} \).
9. \( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 6\sqrt{3} \).
10. \( V = 12 \pi \cdot 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \pi \) см³.

Ответ: \( 72\sqrt{3} \pi \) см³.