5. Найти какую-нибудь первообразную функции f(x) = 2x^3 + x^2 + 3, которая принимает положительное значение при x = -1.

Решение:

1. Найдём общую первообразную функции \( f(x) = 2x^3 + x^2 + 3 \), проинтегрировав её: \( F(x) = \int (2x^3 + x^2 + 3) dx \).
2. \( F(x) = 2 \int x^3 dx + \int x^2 dx + 3 \int dx \).
3. \( F(x) = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3x + C \).
4. \( F(x) = 2 \cdot \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + 3x + C \).
5. \( F(x) = \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + 3x + C \), где \( C \) — константа интегрирования.
6. По условию, первообразная должна принимать положительное значение при \( x = -1 \), то есть \( F(-1) > 0 \).
7. Подставим \( x = -1 \) в выражение для \( F(x) \): \( F(-1) = \frac{1}{2}(-1)^4 + \frac{1}{3}(-1)^3 + 3(-1) + C \).
8. \( F(-1) = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{3}(-1) - 3 + C \).
9. \( F(-1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - 3 + C \).
10. Приведём к общему знаменателю: \( F(-1) = \frac{3 - 2 - 18}{6} + C = \frac{-17}{6} + C \).
11. Чтобы \( F(-1) > 0 \), необходимо, чтобы \( \frac{-17}{6} + C > 0 \), то есть \( C > \frac{17}{6} \).
12. Выберем любое значение \( C \), удовлетворяющее условию, например, \( C = 3 \) (так как \( 3 = \frac{18}{6} > \frac{17}{6} \)).
13. Тогда одна из первообразных будет: \( F(x) = \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + 3x + 3 \).

Ответ: \( F(x) = \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + 3x + 3 \).