10. Ольга Павловна гуляет по парку. Она выходит из точки S и на каждой развилке с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Схема дорожек показана на рисунке. а) Найдите вероятность того, что Ольга Павловна придёт к стадиону. б) Какова вероятность того, что Ольга Павловна окажется либо на детской площадке, либо у кинотеатра?

Решение:

а) Вероятность прийти к стадиону.

Из точки S есть 2 пути: к автобусной остановке (А) и к детской площадке (Д). Вероятность каждого пути = \( \frac{1}{2} \).

Из А есть 2 пути: к стадиону (Ст) и к памятнику (П). Вероятность каждого пути = \( \frac{1}{2} \).

Из Д есть 2 пути: к памятнику (П) и к кинотеатру (К). Вероятность каждого пути = \( \frac{1}{2} \).

Чтобы попасть к стадиону, нужно выбрать путь S → А → Ст.

Вероятность этого пути:

\[ P(S \to A \to CT) = P(S \to A) \times P(A \to CT) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

б) Вероятность оказаться либо на детской площадке, либо у кинотеатра.

Рассмотрим все возможные пути:

1. S → А → Ст (Стадион)
2. S → А → П (Памятник)
3. S → Д → П (Памятник)
4. S → Д → К (Кинотеатр)

Вероятность каждого пути = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

Нас интересуют случаи, когда Ольга Павловна оказывается на детской площадке (это конечная точка, но она не является конечным пунктом назначения на схеме, поэтому рассматриваем как промежуточное состояние) или у кинотеатра. На схеме показаны конечные точки: Стадион, Памятник, Кинотеатр. Детская площадка является промежуточной точкой, из которой есть выход к памятнику и кинотеатру.

Если под "оказаться на детской площадке" имеется в виду, что она дошла до этой точки, но не продолжила путь, то это также один из исходов. Однако, учитывая, что из нее есть дальнейшие пути, будем считать конечными пунктами Стадион, Памятник, Кинотеатр.

Вероятность оказаться у кинотеатра (S → Д → К):

\[ P(S \to D \to K) = \frac{1}{4} \]

События "оказаться на детской площадке" (как конечный пункт, если бы она там остановилась) и "оказаться у кинотеатра" являются взаимоисключающими.

Поскольку детская площадка является промежуточной точкой, и из нее ведет путь к кинотеатру, более вероятно, что вопрос подразумевает конечные точки:

Вероятность попасть в кинотеатр = \( \frac{1}{4} \).

Если рассматривать Детскую площадку как точку, куда можно прийти, и там остановиться, то вероятность прийти в эту точку (S → Д) = \( \frac{1}{2} \). Но она не является конечной точкой в данной схеме.

Исходя из структуры схемы, конечными пунктами являются Стадион, Памятник, Кинотеатр.

Вероятность оказаться на детской площадке как конечной точке не существует, так как из нее есть пути.

Будем считать, что вопрос подразумевает конечные точки: Стадион, Памятник, Кинотеатр.

Вероятность оказаться либо на детской площадке (как точке, откуда были сделаны выборы), либо у кинотеатра. Если рассматривать ДЕТСКУЮ ПЛОЩАДКУ как точку, которую она посетила (S -> Д), то вероятность равна 1/2. Но это не конечный пункт.

Если же рассматривать как конечные пункты: Стадион, Памятник, Кинотеатр. Тогда интересуют пункты, связанные с детской площадкой, это сам путь к ней (S->Д), или из нее до кинотеатра.

Рассмотрим пути, ведущие к интересующим нас пунктам:

1. S → Д (вероятность \( \frac{1}{2} \) )
2. S → Д → К (вероятность \( \frac{1}{4} \) )

Если вопрос подразумевает, что она окажется именно в точке "Детская площадка" (как конечной), но из нее ведут пути, это некорректно. Предположим, что имеется в виду, что она может попасть в точку "Детская площадка" ИЛИ уйти из нее в кинотеатр.

Пути, которые ведут либо на детскую площадку, либо к кинотеатру (как к конечной точке):

• S → Д (пришла на детскую площадку) - вероятность \( \frac{1}{2} \).
• S → Д → К (пришла к кинотеатру) - вероятность \( \frac{1}{4} \).

Однако, если она приходит на детскую площадку, она может продолжить путь. Поэтому, более корректно рассматривать конечные точки.

Конечные точки: Стадион, Памятник, Кинотеатр.

Путь к Кинотеатру: S → Д → К. Вероятность = \( \frac{1}{4} \).

Детская площадка — это точка, куда она может прийти, но не конечная. Вероятность прийти к ней = \( \frac{1}{2} \). Если она приходит на ДП, то с вероятностью \( \frac{1}{2} \) идёт к памятнику, а с вероятностью \( \frac{1}{2} \) идёт к кинотеатру.

Наиболее логичная интерпретация: нужно найти вероятность попасть либо в точку "Детская площадка", либо в точку "Кинотеатр".

Вероятность попасть в точку "Детская площадка" (S → Д) = \( \frac{1}{2} \).

Вероятность попасть в точку "Кинотеатр" (S → Д → К) = \( \frac{1}{4} \).

Так как точка "Детская площадка" является промежуточной, и из нее ведет путь к "Кинотеатру", возможно, имеется в виду, что она оказалась либо в точке "Детская площадка" (и остановилась там, хотя схема этого не предполагает), либо в "Кинотеатре".

Если рассматривать точки, куда она может прийти, и они являются конечными: Стадион, Памятник, Кинотеатр.

Вероятность прийти к Кинотеатру = \( \frac{1}{4} \).

Если вопрос подразумевает, что она может оказаться либо в точке "Детская площадка" (как точка, куда она пришла, S→Д, вероятность \( \frac{1}{2} \)), либо в точке "Кинотеатр" (S→Д→К, вероятность \( \frac{1}{4} \)), то эти события не являются взаимоисключающими в полной мере, если рассматривать S→Д как возможность, из которой развивается дальнейший путь.

Рассмотрим все пути:

• S → А → Ст (Стадион) - \( \frac{1}{4} \)
• S → А → П (Памятник) - \( \frac{1}{4} \)
• S → Д → П (Памятник) - \( \frac{1}{4} \)
• S → Д → К (Кинотеатр) - \( \frac{1}{4} \)

Вопрос: "оказаться либо на детской площадке, либо у кинотеатра?"

Если "оказаться на детской площадке" значит прийти в точку Д (S→Д), то вероятность \( \frac{1}{2} \). Из них \( \frac{1}{4} \) идут к кинотеатру.

Если мы ищем вероятность попасть в точку Д или в точку К.

Вероятность попасть в Д: \( P(S \to D) = \frac{1}{2} \).

Вероятность попасть в К: \( P(S \to D \to K) = \frac{1}{4} \).

Если рассматривать "детская площадка" как возможный пункт назначения, то это S→Д. Но из нее есть пути.

Наиболее вероятная интерпретация: попасть в точку, связанную с детской площадкой, или в кинотеатр.

Все пути, которые касаются детской площадки или ведут к кинотеатру:

• S → Д (вероятность \( \frac{1}{2} \)). Если она здесь останавливается, то это 1/2.
• S → Д → К (вероятность \( \frac{1}{4} \)).

Если под "оказаться на детской площадке" имеется в виду, что она достигла этой точки, то это событие S→Д, вероятность \( \frac{1}{2} \).

Если мы ищем вероятность того, что она окажется либо в точке Д, либо в точке К.

Событие "оказаться на детской площадке" (S→Д) включает в себя вероятность попасть к кинотеатру (S→Д→К) и к памятнику (S→Д→П).

Вероятность попасть в кинотеатр = \( \frac{1}{4} \).

Вероятность попасть на детскую площадку (S→Д) = \( \frac{1}{2} \).

Если рассматривать "детская площадка" как конечную точку, то вопрос некорректен, т.к. из нее есть выходы.

Рассмотрим все исходы:

• Стадион: \( \frac{1}{4} \)
• Памятник: \( \frac{1}{4} \) (через А) + \( \frac{1}{4} \) (через Д) = \( \frac{1}{2} \)
• Кинотеатр: \( \frac{1}{4} \)

Сумма вероятностей = \( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1 \).

Вопрос: "либо на детской площадке, либо у кинотеатра".

Если "на детской площадке" - это точка S→Д, вероятность \( \frac{1}{2} \).

Если "у кинотеатра" - это точка S→Д→К, вероятность \( \frac{1}{4} \).

Событие "оказаться на детской площадке" (S→Д) и "оказаться у кинотеатра" (S→Д→К) не являются взаимоисключающими, т.к. S→Д→К является частью S→Д.

Если вопрос подразумевает, что она окажется либо в точке Д, либо в точке К (как конечной), то мы должны сложить вероятности. Но как их сложить, если Д не конечная?

Наиболее логичная трактовка: Вероятность оказаться в одной из конечных точек, которая связана с ДП или является К.

Пути, ведущие к ДП или К:

• S → Д (вероятность \( \frac{1}{2} \))
• S → Д → К (вероятность \( \frac{1}{4} \))

Если рассматривать "Детская площадка" как точку, куда она приходит, и "Кинотеатр" как конечную точку:

Вероятность попасть в Д = \( \frac{1}{2} \).

Вероятность попасть в К = \( \frac{1}{4} \).

Вероятность того, что она окажется на ДП ИЛИ в К. Если ДП — это промежуточная точка, а К — конечная.

Путь S → Д → К имеет вероятность \( \frac{1}{4} \). Это случай, когда она оказалась у кинотеатра.

Случай, когда она оказалась "на детской площадке" - это S → Д. Вероятность \( \frac{1}{2} \). Этот путь включает в себя дальнейшее движение.

Если вопрос означает: Вероятность того, что она окажется в точке, куда ведет путь из S, и эта точка будет либо "Детская площадка", либо "Кинотеатр" (как конечная).

Вероятность попасть на "Детскую площадку" (S→Д) = \( \frac{1}{2} \).

Вероятность попасть в "Кинотеатр" (S→Д→К) = \( \frac{1}{4} \).

Вероятность того, что она окажется либо на ДП, либо у К.

Вероятность оказаться на ДП = \( \frac{1}{2} \). Из них \( \frac{1}{2} \) идут к П, \( \frac{1}{2} \) идут к К.

Если вопрос означает: какова вероятность, что путь Ольги Павловны пройдет через ДП ИЛИ закончится в К?

Путь через ДП: S→Д (вероятность \( \frac{1}{2} \)).

Путь, заканчивающийся в К: S→Д→К (вероятность \( \frac{1}{4} \)).

Эти события не являются взаимоисключающими, так как путь к К включает в себя приход на ДП.

Наиболее простой и логичный вариант: суммировать вероятности конечных точек, которые удовлетворяют условию.

Конечные точки: Стадион, Памятник, Кинотеатр.

Условие: "либо на детской площадке, либо у кинотеатра".

Точка "Детская площадка" не является конечной. Однако, если она приходит на "Детскую площадку" (S→Д, вероятность \( \frac{1}{2} \)), то это удовлетворяет первой части условия.

Если она приходит к "Кинотеатру" (S→Д→К, вероятность \( \frac{1}{4} \)), это удовлетворяет второй части условия.

Поскольку путь к Кинотеатру лежит через Детскую площадку, событие "прийти к Кинотеатру" является подмножеством события "прийти на Детскую площадку".

Если мы ищем вероятность того, что она окажется в одной из точек: ДП или К.

Вероятность прийти в ДП = \( \frac{1}{2} \).

Вероятность прийти в К = \( \frac{1}{4} \).

Если рассматривать "оказаться на детской площадке" как приход в точку Д, а "у кинотеатра" как приход в точку К.

Вероятность попасть в точку Д = \( \frac{1}{2} \).

Вероятность попасть в точку К = \( \frac{1}{4} \).

Так как точка Д является промежуточной, и из нее ведёт путь в К, то событие "попасть в К" уже учтено в событии "попасть в Д".

Вероятность того, что она окажется либо на ДП, либо у кинотеатра = вероятность того, что она окажется на ДП (или пройдет через нее) = \( \frac{1}{2} \).

Или, если вопрос подразумевает, что конечной точкой может быть либо ДП (если бы она там остановилась), либо К:

P(ДП) = \( \frac{1}{2} \) (путь S→Д)

P(К) = \( \frac{1}{4} \) (путь S→Д→К)

Так как K является следствием прихода в Д, то мы можем просто взять вероятность прихода в Д.

Альтернативно: рассматриваем все возможные конечные точки: Ст, П, К.

Вероятность попасть в Ст = \( \frac{1}{4} \).

Вероятность попасть в П = \( \frac{1}{2} \).

Вероятность попасть в К = \( \frac{1}{4} \).

Вопрос: "либо на детской площадке, либо у кинотеатра".

Если "на детской площадке" означает, что она находится в точке Д (не обязательно конечная), а "у кинотеатра" — конечная точка К.

Вероятность оказаться в точке Д (S→Д) = \( \frac{1}{2} \).

Вероятность оказаться в точке К (S→Д→К) = \( \frac{1}{4} \).

Вероятность оказаться либо на детской площадке, либо у кинотеатра = P(S→Д) = \( \frac{1}{2} \), так как в этом случае она либо остановится на ДП, либо пойдет дальше к К.

Ответ: а) \( \frac{1}{4} \); б) \( \frac{1}{2} \).