10. Основания трапеции равны 7 и 49, одна из боковых сторон равна 18, а косинус угла между ней и одним из оснований равен \frac{2\sqrt{10}}{7}. Найдите площадь трапеции.

Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна 18 (боковая сторона), а косинус угла между гипотенузой и основанием равен ( \frac{2\sqrt{10}}{7} ). Косинус угла - это отношение прилежащего катета (проекции боковой стороны на большее основание) к гипотенузе, т.е. ( \frac{\text{прилежащий катет}}{18} = \frac{2\sqrt{10}}{7} ). Отсюда прилежащий катет равен (18 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7} = \frac{36\sqrt{10}}{7} ). По теореме Пифагора найдем высоту (противолежащий катет): (h = \sqrt{18^2 - (\frac{36\sqrt{10}}{7})^2} = \sqrt{324 - \frac{12960}{49}} = \sqrt{\frac{15876 - 12960}{49}} = \sqrt{\frac{2916}{49}} = \frac{54}{7}). Теперь найдем площадь: ( S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{7+49}{2} \cdot \frac{54}{7} = 28 \cdot \frac{54}{7} = 4 \cdot 54 = 216). Площадь трапеции равна 216.