8. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Проведем высоты из вершин меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника и прямоугольник. Так как угол между боковой стороной и основанием равен 45 градусам, то в прямоугольных треугольниках углы будут 45, 45 и 90 градусов, т.е. это равнобедренные прямоугольные треугольники. Длина отрезка большего основания, заключенного между основаниями высот, равна длине меньшего основания, т.е. равна 3. Остаток большего основания (9 - 3 = 6) делится пополам между двумя равнобедренными треугольниками, так как трапеция равнобедренная: (6/2 = 3). В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, значит высота также равна 3. Площадь трапеции равна: (S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{3+9}{2} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18). Площадь трапеции равна 18.