11. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и COD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что OK и OL равны.

Доказательство:

Дано: Окружность с центром O. Хорды AB и CD. \( \angle AOB = \angle COD \). OK \( \perp \) AB, OL \( \perp \) CD.

Доказать: OK = OL.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

- \( OA = OB = OC = OD = R \) (радиусы окружности).

- \( \angle AOB = \angle COD \) (по условию).

2. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), \( \triangle AOB = \triangle COD \).

3. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. В частности, равны стороны AB и CD (хорды).

- \( AB = CD \).

4. Рассмотрим треугольники OKA и OLC. (Можно также рассмотреть треугольники OKB и OLD).

- \( OA = OC = R \) (гипотенузы).

- \( \angle AKO = \angle CLO = 90^{\circ} \) (по условию, OK и OL — перпендикуляры).

5. Треугольники AOB и COD являются равнобедренными, так как \( OA = OB \) и \( OC = OD \). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой. Следовательно, OK и OL являются медианами треугольников AOB и COD соответственно.

- \( AK = KB = \frac{1}{2} AB \).

- \( CL = LD = \frac{1}{2} CD \).

6. Так как \( AB = CD \) (из п. 3), то \( \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD \), значит, \( AK = CL \).

7. Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника OKA и OLC:

- \( OA = OC \) (гипотенузы).

- \( AK = CL \) (катеты).

8. По двум катетам (признак равенства прямоугольных треугольников), \( \triangle OKA = \triangle OLC \).

9. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. В частности, равны катеты OK и OL.

- \( OK = OL \).

Что и требовалось доказать.