6. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.

Решение:

Пусть дано: равнобедренная трапеция ABCD, \( BC \) — меньшее основание, \( AD \) — большее основание. \( h \) — высота, \( \alpha \) — угол при основании (например, \( \angle DAB = \alpha \)).

Опустим высоту из вершины B на основание AD, обозначим точку пересечения H. Тогда \( BH = h \).

В прямоугольном треугольнике ABH:

\( \tan(\angle DAB) = \frac{BH}{AH} \)

\( \tan(\alpha) = \frac{h}{AH} \)

Отсюда найдём отрезок AH:

\( AH = \frac{h}{\tan(\alpha)} \).

Так как трапеция равнобедренная, то отрезки, отсекаемые высотами от большего основания, равны. Опустим высоту из C на AD, обозначим точку пересечения K. Тогда \( AH = KD \).

Большее основание AD равно сумме отрезка BC и двух отрезков AH и KD:

\( AD = AH + BC + KD \)

Так как \( AH = KD \), то

\( AD = BC + 2 · AH \)

Подставим выражение для AH:

\( AD = BC + 2 \cdot \frac{h}{\tan(\alpha)} \).

Ответ: Большее основание равно сумме меньшего основания и \( 2 \cdot \frac{h}{\tan(\alpha)} \), где \( h \) — высота, \( \alpha \) — угол при основании.