10. Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростью 15 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.

Обозначим скорость третьего велосипедиста через \(v\) км/ч. Пусть второй был в пути \(t\) часов, когда третий его догнал. Тогда второй прошёл \(15t\) км, а третий, выехавший на час позже второго, — \(v(t-1)\) км. Поэтому \(15t=v(t-1)\).

В момент этой встречи первый велосипедист был в пути на 1 ч дольше второго и находился впереди на \(21(t+1)-15t=6t+21\) км. За следующие 9 ч третий догнал первого, значит, скорость сближения равна \((6t+21)/9\). При этом \(v-21=(6t+21)/9\).

Из первого равенства \(t=v/(v-15)\). Подставим во второе: \(v-21=(6v/(v-15)+21)/9\). После преобразований получаем \(9v^2-330v+2400=0\), или \(3v^2-110v+800=0\). Отсюда \(v=10\) или \(v=80/3\). Условие «сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого» требует, чтобы первый в момент встречи со вторым находился впереди третьего: это исключает скорость 10 км/ч. При \(v=80/3\) время до встречи со вторым равно \(t=8/11\) ч, а скорость третьего выше скорости первого, так что второй догонён первым, затем первый — через 9 ч.

Ответ: \(80/3\) км/ч (\(26\frac{2}{3}\) км/ч).