10. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение: 1) (5x² + 6x - 3) – (2x² – 3x – 4); 2) (7x² – 4x + 8) – (4x² + x – 5); 3) 3x(x - 2) – 5x(x + 3); 4) 2x(x + 1) – 4x(2 – x). 5) 7b(2b + 3) – (b + 6)(b – 5); 6) 2a(3a – 5) – (a – 3)(a – 7).

Задание 10. Многочлен стандартного вида

Чтобы представить выражения в виде многочлена стандартного вида, нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1) (5x² + 6x - 3) – (2x² – 3x – 4)

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак "-", поэтому меняем знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

\[ (5x^2 + 6x - 3) - (2x^2 - 3x - 4) = 5x^2 + 6x - 3 - 2x^2 + 3x + 4 \]

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой степенью x):

\[ (5x^2 - 2x^2) + (6x + 3x) + (-3 + 4) \]

\[ 3x^2 + 9x + 1 \]

Ответ: \( 3x^2 + 9x + 1 \)

2) (7x² – 4x + 8) – (4x² + x – 5)

Раскроем скобки:

\[ (7x^2 - 4x + 8) - (4x^2 + x - 5) = 7x^2 - 4x + 8 - 4x^2 - x + 5 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ (7x^2 - 4x^2) + (-4x - x) + (8 + 5) \]

\[ 3x^2 - 5x + 13 \]

Ответ: \( 3x^2 - 5x + 13 \)

3) 3x(x - 2) – 5x(x + 3)

Сначала раскроем первую скобку, умножив 3x на каждое слагаемое в скобке:

\[ 3x(x - 2) = 3x \cdot x - 3x \cdot 2 = 3x^2 - 6x \]

Теперь раскроем вторую скобку, умножив -5x на каждое слагаемое в скобке:

\[ -5x(x + 3) = -5x \cdot x - 5x \cdot 3 = -5x^2 - 15x \]

Теперь сложим полученные результаты:

\[ (3x^2 - 6x) + (-5x^2 - 15x) = 3x^2 - 6x - 5x^2 - 15x \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ (3x^2 - 5x^2) + (-6x - 15x) \]

\[ -2x^2 - 21x \]

Ответ: \( -2x^2 - 21x \)

4) 2x(x + 1) – 4x(2 – x)

Раскроем первую скобку:

\[ 2x(x + 1) = 2x \cdot x + 2x \cdot 1 = 2x^2 + 2x \]

Раскроем вторую скобку:

\[ -4x(2 - x) = -4x \cdot 2 - 4x \cdot (-x) = -8x + 4x^2 \]

Сложим результаты:

\[ (2x^2 + 2x) + (-8x + 4x^2) = 2x^2 + 2x - 8x + 4x^2 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ (2x^2 + 4x^2) + (2x - 8x) \]

\[ 6x^2 - 6x \]

Ответ: \( 6x^2 - 6x \)

5) 7b(2b + 3) – (b + 6)(b – 5)

Раскроем первую скобку:

\[ 7b(2b + 3) = 7b \cdot 2b + 7b \cdot 3 = 14b^2 + 21b \]

Раскроем вторую скобку, используя правило умножения двучленов (каждый член первого двучлена умножается на каждый член второго):

\[ (b + 6)(b – 5) = b \cdot b + b \cdot (-5) + 6 \cdot b + 6 \cdot (-5) = b^2 - 5b + 6b - 30 = b^2 + b - 30 \]

Теперь вычтем второе выражение из первого. Не забываем менять знаки у слагаемых во второй скобке:

\[ (14b^2 + 21b) - (b^2 + b - 30) = 14b^2 + 21b - b^2 - b + 30 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ (14b^2 - b^2) + (21b - b) + 30 \]

\[ 13b^2 + 20b + 30 \]

Ответ: \( 13b^2 + 20b + 30 \)

6) 2a(3a – 5) – (a – 3)(a – 7)

Раскроем первую скобку:

\[ 2a(3a - 5) = 2a \cdot 3a - 2a \cdot 5 = 6a^2 - 10a \]

Раскроем вторую скобку:

\[ (a - 3)(a - 7) = a \cdot a + a \cdot (-7) - 3 \cdot a - 3 \cdot (-7) = a^2 - 7a - 3a + 21 = a^2 - 10a + 21 \]

Вычтем второе выражение из первого:

\[ (6a^2 - 10a) - (a^2 - 10a + 21) = 6a^2 - 10a - a^2 + 10a - 21 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ (6a^2 - a^2) + (-10a + 10a) - 21 \]

\[ 5a^2 + 0a - 21 \]

\[ 5a^2 - 21 \]

Ответ: \( 5a^2 - 21 \)