10. Прямая касается окружности в точке С. Точка N — центр окружности. Хорда СМ образует с касательной угол, равный 72°. Найдите величину угла NMC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

По условию, прямая касается окружности в точке \( C \). \( N \) — центр окружности. \( CM \) — хорда.

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой меры дуги, стягиваемой этой хордой. Пусть \( \alpha \) — угол между касательной и хордой \( CM \). Тогда \( \alpha = 72^{\circ} \).

Угловая мера дуги \( \overset{\frown}{CM} \) равна \( 2 \cdot \alpha = 2 \cdot 72^{\circ} = 144^{\circ} \).

Центральный угол \( \angle CNM \) также равен угловой мере дуги, которую он опирает.

\( \angle CNM = \overset{\frown}{CM} = 144^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle CNM \). \( NC \) и \( NM \) — радиусы окружности, значит \( NC = NM \).

Следовательно, \( \triangle CNM \) — равнобедренный с основанием \( CM \).

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle NCM = \angle NMC \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle CNM + \angle NCM + \angle NMC = 180^{\circ} \)

\( 144^{\circ} + 2 \cdot \angle NMC = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle NMC = 180^{\circ} - 144^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle NMC = 36^{\circ} \)

\( \angle NMC = \frac{36^{\circ}}{2} = 18^{\circ} \).

Ответ: 18.