4. В треугольнике KAF с основанием KF медиана АТ перпендикулярна основанию, а ∠KAT = 22°. Найдите углы треугольника KAF.

Решение:

Так как медиана \( AT \) перпендикулярна основанию \( KF \), то \( AT \) является также высотой треугольника \( KAF \).

В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают. Следовательно, \( \triangle KAF \) — равнобедренный с \( KA = AF \).

В равнобедренном треугольнике \( AT \) также является биссектрисой угла \( \angle KAF \). Значит, \( \angle KAF = 2 \cdot \angle KAT \).

\( \angle KAF = 2 \cdot 22^{\circ} = 44^{\circ} \).

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle AKF = \angle AFK \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle KAF + \angle AKF + \angle AFK = 180^{\circ} \)

\( 44^{\circ} + 2 \cdot \angle AKF = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle AKF = 180^{\circ} - 44^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle AKF = 136^{\circ} \)

\( \angle AKF = \frac{136^{\circ}}{2} = 68^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle AFK = 68^{\circ} \).

Ответ: \( \angle KAF = 44^{\circ}, \angle AKF = 68^{\circ}, \angle AFK = 68^{\circ} \).