10. Радиус вписанной в квадрат окружности равен \( 20\sqrt{2} \). Найдите диагональ этого квадрата.

Решение:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата.

Радиус \( r = 20\sqrt{2} \).

Сторона квадрата \( a = 2r = 2 \cdot 20\sqrt{2} = 40\sqrt{2} \).

Диагональ квадрата \( d \) находится по теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \).

\( d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \).

Подставляем значение стороны квадрата:

\( d = (40\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 40 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 40 \cdot 2 = 80 \).

Ответ: 80.